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警察与小偷的博弈
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是不是所有博弈都存在一个纯策略（指参与者在其策略空间中选取的唯一确定的策略）的纳什均衡点呢？答案是否定的。
除了上面叙说多次的、大家比较熟悉的纯策略均衡点外，有的博弈并没有一个确定的、唯一的策略，而是存在一个混合策略（指参与者采取的不是确定的唯一的策略，而是在其策略空间中以概率来选择不同策略）均衡点。
下面我们将以警察与小偷的博弈为例，对混合策略均衡点进行说明。
某小镇只有一名巡逻警察，他一个人要负责整个镇的治安。
假定该小镇主要分为A、B两区，A区有一家建设银行，B区有一家金银首饰店。
再假定这个小镇有一个小偷，要对该镇实施偷盗行为。
因为没有分身术，警察一次只能在一个区巡逻；而对于小偷来说，一次也只能去一个地方行窃。
假定A区建设银行需要保护的财产为2万元，B区首饰店的财产价值1万元。
若警察在A区巡逻，而小偷也恰巧选择去了该地，小偷就会被警察当场抓住，该区建设银行的2万元财产就不会损失；若警察在A区巡逻，而小偷却选择去了B区，因没有警察的保护，小偷偷盗成功，B区首饰店的1万元财产将分文不剩，全落进小偷的腰包。
在这种情况下，警察要怎样巡逻才能使效果最好呢？
如果按照先前的思路——只能选取一个确定的唯一的策略，那么明显的做法是：警察在A区巡逻，可以保护该区建设银行的2万元财产不被偷窃。
而小偷去B区，偷窃一定成功，B区首饰店的1万元财产尽归小偷所有。
也就是说警察的收益是2万元，而小偷的收益是1万元。
但是，这种做法是警察的最佳策略吗？存不存在一种更好的策略或者说能不能对这种策略进行改进呢？
若警察在A区或B区巡逻，而小偷也正好选择去A区或B区，则小偷无法实施偷盗，此时警察的收益为3（保住A区建设银行和B区首饰店共3万元财产），小偷的收益为0（没有收益），记作（3，0）。
若警察在A区巡逻，而小偷去B区偷盗，此时，警察的收益为2（保住A区建设银行2万元财产），小偷的收益为1（成功偷盗B区首饰店1万元财产），记作（2，1）。
若警察在B区巡逻，而小偷去A区偷盗，此时，警察的收益为1（保住B区首饰店1万元财产），小偷的收益为2（成功偷盗A区建设银行2万元财产），记作（1，2）。
警察与小偷的收益可写成如下的收益矩阵：
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