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.2傅里叶级数
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重要概念、定理、公式、结论
1. 傅里叶系数与傅里叶级数:
f（x）~a02+∑∞n=1（ansinnx）
an=1π∫π-πf（x）=0，1，2…
bn=1π∫π-πf（x）sinnxdxn=1，2…
2. 狄利克雷收敛定理
设
f（x）
在
[-π，π]
上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则
f（x）
的傅里叶级数在
[-π，π]
上处处收敛，且收敛于
1） f（x），当x为f（x）的连续点.
2） f（x-0）+f（x+0）2，当x为f（x）的间断点.
3） f（-π+0）+f（π-0）2，当x=±π
3. 周期为2π的函数的展开.
（1） [-π，π]上展开.
an=1π∫π-πf（x）=0，1，2…
bn=1π∫π-πf（x）sinnxdxn=1，2…
（2） [-π，π]上奇偶函数的展开.
1） f（x）为奇函数.
an=0，bn=2π∫π0f（x）sinnxdxn=1，2…
2） f（x）为偶函数.
an=2π∫π0f（x）=0n=1，2…
（3） 在[0，π]上展为正弦或展为余弦.
1） 展为正弦.
an=0，bn=2π∫π0f（x）sinnxdxn=1，2…
2） 展为余弦.
an=2π∫π0f（x）=0n=1，2…
4. 周期为2l的函数的展开.
（1） [-l，l]上展开.
an=1l∫l-lf（x）=0，1，2…
bn=1l∫l-lf（x）sinnπxldxn=1，2…
（2） [-l，l]上奇偶函数的展开.
1） f（x）为奇函数.
an=0，bn=2l∫l0f（x）sinnπxldxn=1，2…
2） f（x）为偶函数.
an=2l∫l0f（x）πxldxbn=0n=1，2…
（3） 在[0，l]上展为正弦或展为余弦.
1） 展为正弦.
an=0，bn=2l∫l0f（x）sinnπxldxn=1，2…
2） 展为余弦.
an=2l∫l0f（x）πxldxbn=0n=0，1，2…
强化突破题型
【题型六】有关狄利克雷收敛定理的问题
【方法点拨】关键是分清x为哪一类点.
【例30】函数f（x）=-1，-π
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