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.3傅里叶级数（数学一）
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考试要点剖析
【大纲要求】了解Fourier级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[－l，l］上的函数展开为Fourier级数，会将定义在[0，l］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出Fourier级数的和的表达式.
一、基本概念
1. 周期为2π的Fourier级数
若函数f（x）是周期为2π的函数，则
a02+∑∞n=1（ansinnx）
其中an=1π∫π－πf（x）=1π∫π－πf（x）sinnxdxn=0，1，2，…称为f（x）的以2π为周期的Fourier级数.an，bn称为傅里叶系数
记为f（x）~a02+∑∞n=1（ansinnx）.
【概念理解点拨】（1） 根据周期函数的性质：
an=1π∫a+2πaf（x）=1π∫a+2πaf（x）sinnxdx
（2） 根据奇偶函数的性质
当f（x）是奇函数时，f（x）~∑∞n=1bnsinnx；（正弦级数）
当f（x）是偶函数时，f（x）~a02+∑∞n=1anx（余弦级数）
二、狄利克雷收敛定理
设函数f（x）是周期为2π的可积函数，且满足
（1） f（x）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
（2） f（x）在一个周期内至多有有限个极值点
则f（x）的以2π为周期的Fourier级数是收敛，且和函数S（x）满足
S（x）=f（x），x是f（x）的连续点，
f（x－0）+f（x+0）2，x是f（x）的间断点，
f（－π+0）+f（π－0）2，x=±π.
三、函数展开成傅里叶级数
【情形1】设以
2l为周期的周期函数
f（x）在
[-l，l]上可积，则
f（x）的傅里叶级数为
f（x）~a02+∑∞n=1ansinnπxl．
其中系数
an=1l∫l－lf（x）πxldx，bn=1l∫l－lf（x）sinnπxldx（n=0，1，2…）
【例9.13】设f（x）是周期为2π的周期函数，且在一个周期内的表达式f（x）=－1，－π
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