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考场内,时间仿佛被一只无形的手按下了慢放键。
许燃的笔尖,如同在冰面上起舞的精灵,在雪白的卷纸上优雅地流淌。
他没有上来就写下一大串让人头皮发麻的复杂公式。
反而像一个最虔诚的初学者一样,开始一笔一划地,定义整个证明过程最基本的步骤。
【第一步:奠基。
】【当n=4时,一个k4图存在的概率为p6。
虽然在极限情况下,这个概率无限趋近于零,微不足道,但作为逻辑的,它依然成立。
】【第二步:归纳假设。
】【假设当图的顶点数为k(k≥4)时,该结论成立。
即当pk(23)(logk)(13)→∞时,一个k阶随机图中,几乎必然存在k4。
】【第三步:递推证明。
】【现在,我们考虑一个有k+1个顶点的图g_{k+1}。
】这一步,是所有数学归纳法的核心,是那道从有限通往无限的桥梁,也是最难的一步。
如何从“k”
这个已知的世界,稳固地,递推到“k+1”
这个未知的世界?监控室里,所有专家教授都下意识地屏住了呼吸,一个个伸长了脖子,眼睛瞪得像铜铃。
他们绞尽脑汁,也想不出,该如何在一个充满“随机”
和“概率”
的框架下,去完成这个看似不可能的递推。
就在这时,只见许燃的笔,轻轻一转。
他根本没有去分析那个无比复杂的g_{k+1}整体。
而是写下了石破天惊,足以让任何一个图论学者都大脑宕机的一行字。
【让我们换一个角度,不去考虑这个静态的g_{k+1}。
】【我们来考察一个‘子过程’。
】【我们不将图一次性生成,而是想象成,逐个地,将顶点加入到图中。
】【当我们加入第k+1个顶点,命名为v时,我们来考察它与之前已经存在的k个顶点{v_1,v_2,,v_k}之间的连接情况。
】“动态过程!
他……他把一个静态的随机图问题,转化成了一个动态的随机过程!”
那位白发苍苍,在省数学会德高望重的老教授,再也控制不住情绪,“砰”
的一声从椅子上站了起来。
他手指因为过度激动而剧烈颤抖,指着屏幕,嘴唇哆嗦着,好半天才挤出一句话。
“我的天……这个思路……这个思路太野了!
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